Infimum und Supremum
Aufgabe: Zeige, dass für jede nach oben beschränkte Menge \(A \subset \mathbb{R}\) gilt: \(\sup(-A) = -\inf(A)\).
Beweis:
Sei \(s = \inf(A)\). Dann gilt für alle \(a \in A:\; s \leq a\).
Daraus folgt \(-s \geq -a\) für alle \(-a \in -A\). Somit ist \(-s\) eine obere Schranke von \(-A\).
Es bleibt zu zeigen, dass \(-s\) die kleinste obere Schranke ist. Sei \(u\) eine beliebige obere Schranke von \(-A\), also \(u \geq -a\) für alle \(-a \in -A\). Dann gilt \(-u \leq a\) für alle \(a \in A\), d.h. \(-u\) ist eine untere Schranke von \(A\). Da \(s = \inf(A)\) die größte untere Schranke ist, folgt \(-u \leq s\), also \(u \geq -s\). Damit ist \(-s\) die kleinste obere Schranke von \(-A\), d.h. \(\sup(-A) = -s = -\inf(A)\). \(\square\)