Wirklich aufdecken?
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
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Lösung
1. Charakteristisches Polynom. Entwicklung nach der dritten Zeile liefert
$$
\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)
= (3 - \lambda) \cdot \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}
= (3-\lambda) \big( (2-\lambda)^2 - 1 \big).
$$
Mit $(2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3)$ folgt
$$
\chi_A(\lambda) = -(\lambda - 3)^2 (\lambda - 1) .
$$
Die Eigenwerte sind also $\lambda_1 = 1$ mit algebraischer Vielfachheit 1 und $\lambda_2 = 3$ mit algebraischer Vielfachheit 2.
2. Eigenräume. Für $\lambda_1 = 1$:
$$
A - I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
\;\Longrightarrow\;
x_1 + x_2 = 0, \; x_3 = 0
\;\Longrightarrow\;
\operatorname{Eig}(A, 1) = \operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} .
$$
Für $\lambda_2 = 3$:
$$
A - 3I = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\;\Longrightarrow\;
x_1 = x_2, \; x_3 \text{ frei}
\;\Longrightarrow\;
\operatorname{Eig}(A, 3) = \operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} .
$$
3. Diagonalisierbarkeit. Die geometrischen Vielfachheiten sind 1 und 2, stimmen also mit den algebraischen überein. Damit ist $A$ diagonalisierbar – was ohnehin zu erwarten war, denn $A$ ist symmetrisch, und der Spektralsatz garantiert sogar eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren.
Mit
$$
S = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
\qquad
D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
$$
gilt $S^{-1} A S = D$; die Spalten von $S$ sind die oben gefundenen Eigenvektoren in der zu $D$ passenden Reihenfolge. $\blacksquare$
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