proofy – Rätselsammlung

Rätselleicht

Schläger und Ball

Ein Schläger und ein Ball kosten zusammen 1,10 Euro. Der Schläger kostet 1,00 Euro mehr als der Ball.

Lineare Gleichung · Kopfrechnen

Rätselmittel

Die Brücke bei Nacht

Vier Wanderer müssen nachts eine wacklige Hängebrücke überqueren. Sie haben nur eine Taschenlampe, und es gilt:

Optimierung · Fallunterscheidung

Analysisleicht

Summe der Kubikzahlen

Zeige für alle $n \in \mathbb{N}$: $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{2}.$

Vollständige Induktion · Summenformel

Rätselleicht

Seerosen im Teich

Auf einem Teich wächst eine Seerosenkolonie. Jeden Tag verdoppelt sie ihre Fläche. Nach 48 Tagen ist der Teich vollständig bedeckt.

Exponentielles Wachstum

Algebramittel

Die Ungleichung von Cauchy–Schwarz

Seien $a_1, \dots, a_n$ und $b_1, \dots, b_n$ reelle Zahlen. Zeige $\left( \sum_{k=1}^{n} a_k b_k \right)^{2} \le \left( \sum_{k=1}^{n} a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^{n} b_k^2 \right)$

Ungleichung · Skalarprodukt

Rätselleicht

Wolf, Ziege und Kohlkopf

Ein Bauer steht mit einem Wolf, einer Ziege und einem Kohlkopf am Ufer eines Flusses. Sein Boot fasst neben ihm selbst nur einen der drei.

Zustandsraum · Logik

Kombinatorikleicht

Socken im Dunkeln

In einer Schublade liegen 10 schwarze und 10 blaue Socken, völlig durcheinander. Im Dunkeln lässt sich die Farbe nicht erkennen.

Schubfachprinzip

Rätselleicht

Die Summe bis Hundert

Berechne im Kopf $1 + 2 + 3 + \dots + 99 + 100 .$

Gauß · Summenformel

Zahlentheoriemittel

Primzahlquadrate modulo $24$

Sei $p > 3$ eine Primzahl. Zeige $p^2 \equiv 1 \pmod{24}.$

Kongruenzen · Primzahlen

Rätselleicht

Reiskörner auf dem Schachbrett

Der Erfinder des Schachspiels wünscht sich der Legende nach folgenden Lohn: ein Reiskorn auf das erste Feld des Bretts, zwei auf das zweite, vier auf das dritte – auf jedem Feld doppelt so viele wie auf dem vorigen.

Geometrische Reihe · Exponentielles Wachstum

Zahlentheorieleicht

Die letzte Ziffer von $7^{2026}$

Welche Ziffer steht am Ende der Dezimaldarstellung von $7^{2026} \, ?$

Kongruenzen · Periodizität

Algebraleicht

Gruppen mit $x^2 = e$ sind abelsch

Sei $(G, \cdot)$ eine Gruppe mit neutralem Element $e$, in der $x^2 = e \qquad \text{für alle } x \in G$

Gruppentheorie · Involution

Kombinatorikleicht

Handschläge auf einer Party

Auf einer Feier sind 10 Gäste. Jeder begrüsst jeden anderen mit genau einem Handschlag.

Doppeltes Abzählen · Binomialkoeffizient

Zahlentheoriemittel

Nullen am Ende von $100!$

Auf wie viele Nullen endet die Dezimaldarstellung von $100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 99 \cdot 100 \, ?$

Fakultät · Legendre-Formel

Topologieschwer

Keine stetige Bijektion von $[0,1]$ auf $(0,1)$

Zeige: Es gibt keine stetige Bijektion $f \colon [0,1] \longrightarrow (0,1).$

Kompaktheit · Stetigkeit

Analysismittel

Eine Reihe, die sich selbst auffrisst

Zeige, dass die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$

Reihen · Partialbruchzerlegung · Teleskopsumme

Rätselmittel

Die hundert Schließfächer

In einer Schule stehen 100 Schliessfächer, nummeriert von 1 bis 100, zunächst alle geschlossen. Nacheinander gehen 100 Schüler vorbei:

Teileranzahl · Quadratzahlen

Algebramittel

$(1+i)^{10}$ ohne Ausmultiplizieren

Berechne $(1 + i)^{10}$

Komplexe Zahlen · Polarform

Rätselmittel

Vier Liter aus fünf und drei

Du stehst an einem Brunnen und hast zwei unskalierte Kannen: eine fasst genau 5 Liter, die andere genau 3 Liter. Du kannst beliebig oft Kannen ganz füllen, ganz ausleeren oder aus einer in die andere umfüllen, bis entweder die Quelle leer oder das Ziel voll ist.

Zustandsraum · Größter gemeinsamer Teiler

Lineare Algebramittel

Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit

Gegeben sei $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} .$

Eigenwerte · Eigenvektoren · Diagonalisierung

Rätselmittel

Zehn Säcke Gold, eine Wägung

Vor dir stehen zehn Säcke mit Goldmünzen, durchnummeriert von 1 bis 10. Jeder Sack enthält reichlich Münzen. Eine echte Münze wiegt genau 10 Gramm, doch in einem Sack sind sämtliche Münzen Fälschungen und wiegen nur 9 Gramm.

Codierung · Stellenwert

Analysismittel

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Löse das Anfangswertproblem $y'(x) - 2y(x) = e^{3x}, \qquad y(0) = 2 .$

Differentialgleichung · Integrierender Faktor

Rätselmittel

Zwei Zündschnüre, 45 Minuten

Du hast zwei Zündschnüre und Streichhölzer. Jede Schnur brennt, an einem Ende angezündet, in genau 60 Minuten vollständig ab – aber ungleichmässig: Die erste Hälfte kann 5 Minuten brauchen und die zweite 55.

Invariante · Messen ohne Uhr

Stochastikmittel

Mindestens eine Sechs

Ein fairer sechsseitiger Würfel wird viermal geworfen.

Gegenereignis · Unabhängigkeit

Stochastikmittel

Das Geburtstagsparadoxon

Wie viele Personen müssen in einem Raum sein, damit die Wahrscheinlichkeit grösser als $\tfrac12$ ist, dass zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben?

Gegenereignis · Abzählen

Stochastikmittel

Das Ziegenproblem

In einer Spielshow stehen drei verschlossene Türen. Hinter einer steht ein Auto, hinter den beiden anderen je eine Ziege. Es gilt:

Bedingte Wahrscheinlichkeit · Bayes

Rätselschwer

Das verstümmelte Schachbrett

Von einem gewöhnlichen $8 \times 8$-Schachbrett werden zwei gegenüberliegende Eckfelder entfernt, etwa a1 und h8. Übrig bleiben 62 Felder.

Färbungsargument · Invariante

Analysisschwer

Das Gauß-Integral

Zeige $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} .$

Mehrfachintegral · Polarkoordinaten

Kombinatorikschwer

Sechs Gäste, drei Bekannte

Auf einer Feier sind sechs Personen. Je zwei von ihnen kennen sich entweder oder sie kennen sich nicht – Bekanntschaft sei gegenseitig.

Schubfachprinzip · Ramsey-Theorie · Graphen

Analysisschwer

Ein Konvergenzradius mit $e$

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \, x^n .$

Potenzreihen · Quotientenkriterium

Rätselschwer

Zwölf Münzen, drei Wägungen

Zwölf äusserlich gleiche Münzen liegen vor dir. Elf wiegen exakt gleich viel, eine ist gefälscht – sie ist entweder schwerer oder leichter, und du weisst nicht, welches von beidem.

Balkenwaage · Information · Entscheidungsbaum

Rätselmittel

Neun Münzen, zwei Wägungen

Vor dir liegen neun äusserlich gleiche Münzen. Acht davon wiegen exakt gleich viel, eine ist schwerer. Zur Verfügung steht eine Balkenwaage, die nur anzeigt, welche Seite schwerer ist oder ob Gleichstand herrscht.

Balkenwaage · Information