Von einem gewöhnlichen $8 \times 8$-Schachbrett werden zwei gegenüberliegende Eckfelder entfernt, etwa a1 und h8. Übrig bleiben 62 Felder.
Lässt sich diese Fläche lückenlos und überlappungsfrei mit 31 Dominosteinen auslegen, von denen jeder genau zwei nebeneinanderliegende Felder bedeckt?
Beweise deine Antwort.
Zähle nicht die Felder, sondern ihre Farben. Welche Farben bedeckt ein Dominostein?
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Die Antwort ist Nein – es ist unmöglich.
Das Färbungsargument. Ein Schachbrett ist abwechselnd schwarz und weiss gefärbt, mit 32 Feldern je Farbe. Ein Dominostein bedeckt stets zwei Felder, die eine gemeinsame Kante haben, und solche Nachbarfelder tragen immer verschiedene Farben. Jeder Dominostein bedeckt also genau ein schwarzes und genau ein weisses Feld.
Würden 31 Steine die Restfläche vollständig auslegen, so bedeckten sie zusammen
Die beiden Ecken. Gegenüberliegende Eckfelder eines Schachbretts haben dieselbe Farbe. Das sieht man an der Koordinatenregel: Färbt man das Feld in Spalte $i$ und Zeile $j$ schwarz, wenn $i + j$ gerade ist, so gilt für die Ecken $(1,1)$ und $(8,8)$
beides gerade – beide Ecken sind schwarz.
Nach dem Entfernen bleiben also
Der Widerspruch. Eine Auslegung bräuchte 31 Felder jeder Farbe, vorhanden sind aber 30 und 32. Also existiert keine solche Auslegung. $\blacksquare$
Bemerkenswert ist, wie wenig gerechnet wird: Die Farbdifferenz $\#\text{schwarz} - \#\text{weiss}$ ist eine Invariante – jeder gelegte Dominostein lässt sie unverändert bei null. Eine Fläche mit Differenz $-2$ kann deshalb nie erreicht werden, ganz gleich, wie geschickt man legt.
Entfernt man dagegen zwei Felder verschiedener Farbe, ist die Auslegung stets möglich – das ist der Satz von Gomory, bewiesen über einen geschlossenen Rundweg durch alle 64 Felder, der durch die beiden Lücken in zwei Stücke gerader Länge zerfällt.