Strategie „Bleiben". Die geöffnete Tür ändert nichts an der ersten Wahl – der Moderator öffnet in jedem Fall eine Ziegentür, egal wo das Auto steht. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist deshalb die der ersten Wahl:
$$
P(\text{Gewinn} \mid \text{Bleiben}) = \frac{1}{3} .
$$
Strategie „Wechseln". Entscheidend ist eine einfache Beobachtung: Wer wechselt, gewinnt genau dann, wenn die erste Wahl falsch war. Denn stand das Auto nicht hinter der zuerst gewählten Tür, so ist von den beiden übrigen Türen eine die Ziegentür – die der Moderator öffnet – und die andere die Autotür, zu der man wechselt.
$$
P(\text{Gewinn} \mid \text{Wechseln}) = P(\text{erste Wahl falsch}) = \frac{2}{3} .
$$
Antwort. Wechseln verdoppelt die Gewinnchance von $\tfrac13$ auf $\tfrac23$.
Dieselbe Rechnung mit Bayes
Nummeriere die Türen so, dass du Tür 1 gewählt hast und der Moderator Tür 3 öffnet. Sei $A_i$ das Ereignis „Auto hinter Tür $i$" und $M_3$ „Moderator öffnet Tür 3". Dann ist $P(A_i) = \frac13$ und
$$
P(M_3 \mid A_1) = \frac{1}{2}, \qquad
P(M_3 \mid A_2) = 1, \qquad
P(M_3 \mid A_3) = 0 ,
$$
denn bei $A_1$ hat der Moderator die Wahl zwischen Tür 2 und 3, bei $A_2$ muss er Tür 3 öffnen, und bei $A_3$ darf er es nicht. Mit der Formel von Bayes:
$$
P(A_1 \mid M_3) = \frac{\tfrac12 \cdot \tfrac13}{\tfrac12 \cdot \tfrac13 + 1 \cdot \tfrac13 + 0 \cdot \tfrac13}
= \frac{\tfrac16}{\tfrac12} = \frac{1}{3},
\qquad
P(A_2 \mid M_3) = \frac{1 \cdot \tfrac13}{\tfrac12} = \frac{2}{3} .
$$
Tür 2 ist die Tür, zu der man wechselt. $\blacksquare$
Die Annahmen in der Aufgabenstellung sind wesentlich. Öffnete der Moderator eine zufällige Tür und käme dabei manchmal das Auto zum Vorschein, so wären beide Strategien in den verbleibenden Fällen gleich gut.