Wie viele Personen müssen in einem Raum sein, damit die Wahrscheinlichkeit grösser als $\tfrac12$ ist, dass zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben?
Nimm an, dass das Jahr 365 Tage hat, alle Tage gleich wahrscheinlich sind und die Geburtstage unabhängig voneinander.
Zähle nicht die Paare mit gleichem Geburtstag, sondern die Möglichkeiten, bei denen alle Geburtstage verschieden sind.
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Das Gegenereignis. Sei $A_n$ das Ereignis „unter $n$ Personen haben mindestens zwei am selben Tag Geburtstag". Das Gegenereignis $\overline{A_n}$ bedeutet, dass alle $n$ Geburtstage paarweise verschieden sind.
Für $\overline{A_n}$ zählen wir ab: Die erste Person darf jeden der 365 Tage haben, die zweite jeden der 364 übrigen, die dritte jeden der 363, und so fort. Also
und damit
Auswerten.
| $n$ | $P(A_n)$ |
|---|---|
| 10 | 11,7 % |
| 20 | 41,1 % |
| 22 | 47,6 % |
| 23 | 50,7 % |
| 30 | 70,6 % |
| 41 | 90,3 % |
| 50 | 97,0 % |
| 70 | 99,9 % |
Ab 23 Personen ist die Wahrscheinlichkeit erstmals grösser als $\tfrac12$; bei 22 liegt sie mit 47,6 % noch darunter. $\blacksquare$
Die meisten denken an die falsche Frage, nämlich: „Hat jemand an meinem Geburtstag Geburtstag?" Dafür wären tatsächlich rund 253 Personen nötig.
Entscheidend ist aber nicht die Zahl der Personen, sondern die Zahl der Paare: Bei 23 Personen gibt es
Paare, die jeweils eine kleine Chance auf eine Übereinstimmung haben. Die Zahl der Paare wächst quadratisch – und holt die 365 Tage viel schneller ein, als die Intuition erwartet.