Ein fairer sechsseitiger Würfel wird viermal geworfen.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dabei mindestens eine Sechs zu würfeln?
„Mindestens eine" ist mühsam, weil man die Fälle mit einer, zwei, drei und vier Sechsen addieren müsste. Das Gegenereignis ist einfacher.
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Sei $A$ das Ereignis „mindestens eine Sechs in vier Würfen". Das Gegenereignis $\overline{A}$ ist „keine einzige Sechs", also „alle vier Würfe zeigen eine Zahl aus $\{1,\dots,5\}$".
Die Würfe sind unabhängig, und pro Wurf gilt $P(\text{keine Sechs}) = \frac{5}{6}$. Also
Damit
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also rund 51,8 % – etwas mehr als die Hälfte. $\blacksquare$
Die naheliegende Rechnung $4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\%$ ist falsch: Sie zählt Würfe mit mehreren Sechsen mehrfach. Dass sie überhaupt nicht stimmen kann, sieht man bei sieben Würfen – dort käme $\frac{7}{6} > 1$ heraus.
Allgemein ist $P_n = 1 - (5/6)^n$. Erst ab $n = 4$ überschreitet dieser Wert $\tfrac12$: für $n = 3$ ist $P_3 = \frac{91}{216} \approx 0{,}421$.