Zeige
Beachte, dass $e^{-x^2}$ keine elementare Stammfunktion besitzt – eine direkte Integration führt also nicht zum Ziel.
Betrachte nicht $I$, sondern $I^2$, und lies das Produkt zweier Integrale als Doppelintegral über den ersten Quadranten.
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Setze
Das Integral existiert, denn der Integrand ist stetig, positiv und für $x \ge 1$ durch $e^{-x}$ beschränkt; insbesondere ist $0 < I < \infty$.
Quadrieren. Da der Integrand nichtnegativ und messbar ist, erlaubt der Satz von Tonelli, das Produkt als Doppelintegral zu schreiben:
Integriert wird über den offenen ersten Quadranten $Q = \{ (x,y) : x > 0, \, y > 0 \}$.
Polarkoordinaten. Mit $x = r \cos \varphi$, $y = r \sin \varphi$ wird $Q$ durch $r \in (0, \infty)$ und $\varphi \in (0, \tfrac{\pi}{2})$ beschrieben, die Funktionaldeterminante ist $r$, und es gilt $x^2 + y^2 = r^2$. Also
Das innere Integral löst die Substitution $u = r^2$, $\mathrm{d}u = 2r \, \mathrm{d}r$:
Der Integrand hängt nicht mehr von $\varphi$ ab, also
Wurzel ziehen. Wegen $I > 0$ folgt
Aus Symmetriegründen ist $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \mathrm{d}x = \sqrt{\pi}$. Genau dieser Wert sorgt dafür, dass die Dichte der Standardnormalverteilung $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ das Integral 1 hat.
Der Trick, ein Integral über sein Quadrat zu bestimmen, wird Poisson zugeschrieben – er verlegt das Problem von einer in zwei Dimensionen, wo die Rotationssymmetrie von $e^{-(x^2+y^2)}$ die Rechnung trivial macht.