Modell. Wir fassen die Personen als Ecken eines Graphen auf und färben jede der $\binom{6}{2} = 15$ Verbindungen rot (kennen sich) oder blau (kennen sich nicht). Zu zeigen ist, dass stets ein einfarbiges Dreieck auftritt.
Schritt 1: Schubfachprinzip. Sei $A$ eine beliebige Person. Von $A$ gehen fünf Verbindungen aus, jede rot oder blau. Bei zwei Farben und fünf Kanten muss eine Farbe mindestens dreimal vorkommen, denn zweimal zwei ergibt nur vier.
Ohne Einschränkung seien drei dieser Verbindungen rot, etwa zu $B$, $C$ und $D$. (Der blaue Fall verläuft wörtlich gleich, nur mit vertauschten Farben.)
Schritt 2: Fallunterscheidung. Betrachte die drei Verbindungen zwischen $B$, $C$ und $D$.
Fall 1: Mindestens eine davon ist rot, etwa die zwischen $B$ und $C$. Dann bilden $A$, $B$ und $C$ ein rotes Dreieck: $AB$ und $AC$ sind rot nach Wahl, $BC$ nach Annahme.
Fall 2: Keine davon ist rot. Dann sind $BC$, $BD$ und $CD$ alle blau, und $B$, $C$, $D$ bilden ein blaues Dreieck.
In beiden Fällen existiert ein einfarbiges Dreieck. $\blacksquare$
Fünf Personen genügen nicht. Setze die fünf Personen im Kreis und lass genau die direkten Nachbarn einander kennen:
$$
P_1 - P_2 - P_3 - P_4 - P_5 - P_1 .
$$
Die roten Kanten bilden damit ein Fünfeck, die blauen ebenfalls – nämlich das Fünfeck der „übernächsten" Nachbarn $P_1 P_3 P_5 P_2 P_4 P_1$. Ein Fünfeck enthält kein Dreieck, denn je zwei seiner Kanten, die einen gemeinsamen Endpunkt haben, führen zu Ecken, die selbst nicht verbunden sind. Also gibt es weder ein rotes noch ein blaues Dreieck.
Einordnung
Die Aussage besagt in der Sprache der Ramsey-Theorie gerade $R(3,3) \le 6$, und das Gegenbeispiel zeigt $R(3,3) > 5$, zusammen also
$$
R(3,3) = 6 .
$$
Schon der nächste Wert ist ungleich schwerer: $R(4,4) = 18$, und $R(5,5)$ ist bis heute unbekannt – man weiss nur, dass er zwischen 43 und 46 liegt.