Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe
Das Quotientenkriterium ist hier handlicher als die Wurzelformel. Beim Kürzen taucht ein sehr bekannter Grenzwert auf.
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Die Koeffizienten sind $a_n = \dfrac{n!}{n^n} > 0$. Nach dem Quotientenkriterium für Potenzreihen ist der Konvergenzradius
sofern dieser Grenzwert existiert.
Der Quotient. Es ist
Grenzwert. Mit dem bekannten Grenzwert $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \to e$ folgt
Die Reihe konvergiert also absolut für $|x| < e$ und divergiert für $|x| > e$. $\blacksquare$
Für $x = e$ divergiert die Reihe. Nach der Stirlingschen Formel $n! \sim \sqrt{2\pi n} \, (n/e)^n$ gilt nämlich
die Glieder bilden also keine Nullfolge – das notwendige Konvergenzkriterium ist verletzt. Für $x = -e$ divergiert die Reihe aus demselben Grund.