Die Münzen seien mit $1$ bis $12$ nummeriert.
Erste Wägung: $\{1,2,3,4\}$ gegen $\{5,6,7,8\}$
Fall G – Gleichstand. Dann sind die Münzen $1$ bis $8$ echt, und die Fälschung steckt in $\{9, 10, 11, 12\}$.
Zweite Wägung: $\{9,10,11\}$ gegen $\{1,2,3\}$ (drei garantiert echte Münzen).
- Gleichstand: Die Fälschung ist $12$. Dritte Wägung $12$ gegen $1$ zeigt die Richtung.
- Links schwerer: Eine von $9, 10, 11$ ist zu schwer. Dritte Wägung $9$ gegen $10$: Die schwerere ist es; bei Gleichstand ist es $11$.
- Links leichter: Analog mit „leichter" – dritte Wägung $9$ gegen $10$, die leichtere ist die Fälschung, bei Gleichstand $11$.
Fall U – Ungleichstand. Die Fälschung steckt in $1$ bis $8$, und $9$ bis $12$ sind echt. Nenne die vier Münzen der schwereren Seite $s_1, s_2, s_3, s_4$ und die der leichteren $l_1, l_2, l_3, l_4$. Es gilt also: Entweder ist ein $s_i$ zu schwer oder ein $l_j$ zu leicht – acht Möglichkeiten.
Zweite Wägung: $\{s_1, s_2, l_1\}$ gegen $\{s_3, l_2, 9\}$, wobei $9$ eine garantiert echte Münze ist.
| Ausgang | verbleibende Möglichkeiten | dritte Wägung | Auswertung |
|---|
| Gleichstand | $s_4$ schwer, $l_3$ oder $l_4$ leicht | $l_3$ gegen $l_4$ | leichtere Seite nennt die Fälschung; Gleichstand $\Rightarrow s_4$ ist zu schwer |
| links schwerer | $s_1$ oder $s_2$ schwer, $l_2$ leicht | $s_1$ gegen $s_2$ | schwerere Seite nennt die Fälschung; Gleichstand $\Rightarrow l_2$ ist zu leicht |
| links leichter | $s_3$ schwer oder $l_1$ leicht | $s_3$ gegen $9$ | $s_3$ schwerer $\Rightarrow s_3$ zu schwer; Gleichstand $\Rightarrow l_1$ zu leicht |
Jeder Ausgang der zweiten Wägung lässt höchstens drei Möglichkeiten übrig, und die dritte Wägung trennt diese drei. Damit ist in allen 24 Fällen sowohl die Münze als auch die Richtung bestimmt. $\blacksquare$
Warum die zweite Wägung so seltsam aussieht
Der Trick in Fall U besteht darin, Münzen über die Seiten hinweg zu mischen: $l_1$ wandert zu den Verdächtigen der schweren Seite, $s_3$ auf die andere Waagschale. Nur so hat jeder der drei Ausgänge höchstens drei Kandidaten – wiege man dagegen einfach $\{s_1,s_2\}$ gegen $\{s_3,s_4\}$, bliebe bei Gleichstand die vierelementige Menge $\{l_1,l_2,l_3,l_4\}$ übrig, und drei Kandidaten mehr als eine Wägung trennen kann.
Die Informationsschranke
Es gibt $12 \cdot 2 = 24$ mögliche Antworten. Jede Wägung hat drei Ausgänge, drei Wägungen also höchstens $3^3 = 27$ unterscheidbare Ergebnisfolgen. Wegen $24 \le 27$ ist die Aufgabe überhaupt lösbar – mit zwei Wägungen wäre sie es wegen $3^2 = 9 < 24$ nicht.
Die Schranke ist knapp: Mit 13 Münzen und drei Wägungen ginge es noch, die Richtung liesse sich dann aber im Fall der 13. Münze nicht mehr mitbestimmen.