Sei $(G, \cdot)$ eine Gruppe mit neutralem Element $e$, in der
gilt. Zeige, dass $G$ abelsch ist.
Aus $x^2 = e$ folgt $x^{-1} = x$. Wende das auf das Produkt $ab$ an.
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Aus $x \cdot x = e$ folgt unmittelbar $x^{-1} = x$ für jedes $x \in G$: jedes Element ist sein eigenes Inverses.
Seien nun $a, b \in G$ beliebig. Dann ist auch $ab \in G$, also
wobei im zweiten Schritt die Regel $(xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1}$ benutzt wurde und im dritten die bereits gezeigte Identität $x^{-1} = x$ für $a$ und $b$.
Also kommutieren beliebige $a, b \in G$, und $G$ ist abelsch. $\blacksquare$
Solche Gruppen sind genau die elementar-abelschen $2$-Gruppen: ist $G$ endlich, so ist $G \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ für ein $n \in \mathbb{N}_0$.