Welche Ziffer steht am Ende der Dezimaldarstellung von
Die letzte Ziffer einer Zahl ist ihr Rest modulo 10. Rechne die ersten Potenzen von 7 modulo 10 aus und schau, was passiert.
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Die letzte Dezimalziffer von $N$ ist genau der Rest $N \bmod 10$. Wir berechnen die Potenzen von 7 modulo 10:
Wegen $7^4 \equiv 1$ wiederholt sich die Folge ab hier mit der Periode 4: aus $7^{k+4} = 7^k \cdot 7^4 \equiv 7^k \pmod{10}$ folgt, dass nur der Rest des Exponenten modulo 4 zählt.
Nun ist
Damit
Die letzte Ziffer ist 9. $\blacksquare$
Dass die Periode genau 4 beträgt, ist kein Zufall: Nach dem Satz von Euler gilt $7^{\varphi(10)} \equiv 1 \pmod{10}$ mit $\varphi(10) = 4$. Die Periode muss also ein Teiler von 4 sein, und die Rechnung oben zeigt, dass sie nicht kleiner ist.