Auf einer Feier sind 10 Gäste. Jeder begrüsst jeden anderen mit genau einem Handschlag.
Wie viele Handschläge sind das? Gib auch eine Formel für $n$ Gäste an.
Zähle zuerst aus der Sicht einer einzelnen Person – und überlege dann, wie oft du dabei jeden Handschlag erwischt hast.
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Doppeltes Abzählen. Jeder der 10 Gäste schüttelt 9 Hände, das ergibt $10 \cdot 9 = 90$ Einzelbeobachtungen. An jedem Handschlag sind aber zwei Personen beteiligt, jeder wurde also genau doppelt gezählt. Damit
Allgemein. Für $n$ Gäste gilt mit demselben Argument
denn ein Handschlag ist nichts anderes als eine zweielementige Teilmenge der Gästeschar.
Dritter Blickwinkel. Man kann auch der Reihe nach zählen: Der erste Gast schüttelt 9 Hände, der zweite 8 weitere (den ersten hatte er schon), der dritte 7, und so fort. Das ergibt
nach der Summenformel – dieselbe Zahl auf drittem Weg. $\blacksquare$
Dieselbe Zahl $\binom{n}{2}$ zählt auch die Diagonalen und Seiten eines $n$-Ecks zusammen, die Kanten des vollständigen Graphen $K_n$ und die Paarungen in einem Turnier, in dem jeder gegen jeden antritt. Für 10 Mannschaften mit Hin- und Rückspiel wären es entsprechend $2 \cdot 45 = 90$ Partien.