Auf wie viele Nullen endet die Dezimaldarstellung von
Begründe deine Antwort, ohne die Zahl auszurechnen.
Eine Null am Ende entsteht durch einen Faktor 10, und $10 = 2 \cdot 5$. Welcher der beiden Primfaktoren ist der knappere?
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Die Anzahl der Endnullen von $N$ ist der grösste Exponent $k$ mit $10^k \mid N$. Wegen $10 = 2 \cdot 5$ ist
wobei $v_p(N)$ den Exponenten von $p$ in der Primfaktorzerlegung von $N$ bezeichnet.
Exponent von 5. Nach der Formel von Legendre gilt
Die Summanden zählen der Reihe nach, wie viele Faktoren durch 5, zusätzlich durch 25, zusätzlich durch 125 teilbar sind – jede 25 bringt eben zwei Fünfen mit, jede 125 drei.
Exponent von 2. Genauso
Ergebnis. $k = \min(97, 24) = 24$: die Zweien sind im Überfluss vorhanden, die Fünfen sind der Engpass. $100!$ endet auf 24 Nullen. $\blacksquare$
Allgemein endet $n!$ auf $\sum_{i \ge 1} \lfloor n / 5^i \rfloor$ Nullen. Die Summe ist endlich, denn ab $5^i > n$ verschwinden alle Summanden.