Zeige: Es gibt keine stetige Bijektion
Dabei tragen beide Mengen die übliche Topologie von $\mathbb{R}$.
Du brauchst die Surjektivität und genau eine topologische Eigenschaft von $[0,1]$, die stetige Abbildungen erhalten. Die Injektivität wird gar nicht benötigt.
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Angenommen, es gäbe eine stetige Bijektion $f \colon [0,1] \to (0,1)$.
Das Intervall $[0,1]$ ist nach dem Satz von Heine–Borel kompakt, denn es ist beschränkt und abgeschlossen in $\mathbb{R}$.
Stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt. Also ist $f([0,1])$ eine kompakte Teilmenge von $\mathbb{R}$. Da $f$ surjektiv ist, gilt $f([0,1]) = (0,1)$, das Intervall $(0,1)$ müsste demnach kompakt sein.
Das ist falsch: $(0,1)$ ist nicht abgeschlossen in $\mathbb{R}$, denn $\tfrac{1}{n} \to 0 \notin (0,1)$ bei $\tfrac{1}{n} \in (0,1)$ für alle $n \ge 2$. Eine nicht abgeschlossene Teilmenge von $\mathbb{R}$ ist nach Heine–Borel nicht kompakt.
Widerspruch. Also existiert keine solche Abbildung. $\blacksquare$
Die Umkehrung ist möglich: $g \colon (0,1) \to [0,1]$ lässt sich stetig und surjektiv wählen, etwa stückweise linear mit $g(x) = 0$ für $x \le \tfrac14$ und $g(x) = 1$ für $x \ge \tfrac34$. Bijektiv ist auch das nicht – eine stetige Bijektion zwischen den beiden Intervallen gibt es in keiner Richtung.