Zeige, dass die Reihe
konvergiert, und bestimme ihren Wert.
Zerlege $\frac{1}{n(n+1)}$ in Partialbrüche und schreibe die Partialsumme $\sum_{n=1}^{N}$ explizit hin.
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Partialbruchzerlegung. Für $n \ge 1$ gilt
wie man durch Zusammenfassen der rechten Seite sofort bestätigt: $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$.
Partialsumme. Damit wird die $N$-te Partialsumme zu einer Teleskopsumme, in der sich alle mittleren Terme paarweise aufheben:
Grenzwert. Wegen $\frac{1}{N+1} \to 0$ für $N \to \infty$ konvergiert die Folge der Partialsummen, und zwar gegen
Der Vergleich mit $\sum 1/n^2$ ist lehrreich: Beide Reihen haben Glieder der Grössenordnung $n^{-2}$ und konvergieren deshalb. Hier liefert die Teleskopstruktur den Wert geschenkt; bei $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ ist er ungleich schwerer zu bekommen.