Die hundert Schließfächer

Wer fasst Fach $n$ an? Schüler $k$ betätigt Fach $n$ genau dann, wenn $k \mid n$. Fach $n$ wird also $d(n)$-mal betätigt, wobei $d(n)$ die Anzahl der positiven Teiler von $n$ bezeichnet. Da alle Fächer geschlossen starten, steht Fach $n$ am Ende genau dann offen, wenn $d(n)$ ungerade ist.

Wann ist $d(n)$ ungerade? Die Teiler von $n$ lassen sich paaren: zu jedem Teiler $d$ gehört der Partner $n/d$, und auch dieser ist ein Teiler. Diese Paarung zerlegt die Teilermenge vollständig in Zweiergruppen – mit genau einer Ausnahme: Wenn $d = n/d$ ist, also $d^2 = n$, steht ein Teiler ohne Partner da.

Das passiert genau dann, wenn $n$ eine Quadratzahl ist. Für alle anderen $n$ ist $d(n)$ gerade.

Ergebnis. Offen bleiben die Quadratzahlen bis 100:

Das sind genau 10 Fächer, nämlich $1^2$ bis $10^2$. $\blacksquare$

Probe an einem Beispiel

Fach 12 hat die Teiler $1, 2, 3, 4, 6, 12$ – sechs Stück, gepaart als $(1,12), (2,6), (3,4)$. Es wird sechsmal betätigt und ist am Ende zu.

Fach 36 hat die Teiler $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ – neun Stück. Die 6 ist ihr eigener Partner, denn $6 \cdot 6 = 36$. Fach 36 bleibt offen.