Berechne
und gib das Ergebnis in der Form $a + bi$ mit $a, b \in \mathbb{R}$ an.
Löse die Aufgabe auf zwei Wegen: einmal rein algebraisch, einmal über die Polarform.
Rechne zuerst $(1+i)^2$ aus – das Ergebnis ist bemerkenswert einfach.
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Weg 1: quadrieren. Es ist
Daraus folgt mit $10 = 2 \cdot 5$
Wegen $i^4 = 1$ ist $i^5 = i$, also
Weg 2: Polarform. Es ist $|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ und $\arg(1+i) = \frac{\pi}{4}$, da $1+i$ auf der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten liegt. Also $1 + i = \sqrt{2} \, e^{i\pi/4}$, und nach der Formel von de Moivre
wobei $e^{i \cdot 5\pi/2} = e^{i(2\pi + \pi/2)} = e^{i\pi/2} = i$ benutzt wurde.
Beide Wege liefern $a = 0$ und $b = 32$. $\blacksquare$