Seien $a_1, \dots, a_n$ und $b_1, \dots, b_n$ reelle Zahlen. Zeige
und bestimme, wann Gleichheit eintritt.
Betrachte die Funktion $f(t) = \sum_{k=1}^n (a_k t + b_k)^2$. Was weisst du über ihr Vorzeichen – und was folgt daraus für ihre Diskriminante?
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Setze
Fall 1: $A = 0$. Dann ist $a_k = 0$ für alle $k$, also $B = 0$, und die Ungleichung lautet $0 \le 0$.
Fall 2: $A > 0$. Für jedes $t \in \mathbb{R}$ gilt
denn $f$ ist eine Summe von Quadraten. Ein nach oben geöffnetes quadratisches Polynom ist genau dann überall nichtnegativ, wenn seine Diskriminante nichtpositiv ist:
Das ist die Behauptung.
Gleichheit. $B^2 = AC$ bedeutet, dass die Diskriminante verschwindet, $f$ also eine doppelte Nullstelle $t_0$ besitzt. Aus $f(t_0) = 0$ und $f(t_0) = \sum_k (a_k t_0 + b_k)^2$ folgt $b_k = -t_0 a_k$ für alle $k$. Gleichheit gilt also genau dann, wenn die Vektoren $(a_k)$ und $(b_k)$ linear abhängig sind (im Fall $A = 0$ ist $(a_k)$ der Nullvektor, und die Abhängigkeit ist trivial). $\blacksquare$