Löse das Anfangswertproblem
Multipliziere die Gleichung mit $e^{-2x}$ und schau dir die linke Seite als Ableitung eines Produkts an.
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Integrierender Faktor. Multiplikation mit $\mu(x) = e^{-2x}$ ergibt
Die linke Seite ist nach der Produktregel genau die Ableitung von $e^{-2x} y(x)$:
Integrieren. Beide Seiten nach $x$ integriert:
also
Anfangsbedingung. Aus $y(0) = 1 + C = 2$ folgt $C = 1$, und damit
Probe. Es ist $y'(x) = 3 e^{3x} + 2 e^{2x}$ und folglich
sowie $y(0) = 1 + 1 = 2$. Beides stimmt. $\blacksquare$
Die Lösung zerfällt in die allgemeine Lösung $C e^{2x}$ der homogenen Gleichung $y' = 2y$ und die partikuläre Lösung $e^{3x}$. Weil die Störfunktion $e^{3x}$ keine Lösung der homogenen Gleichung ist, hätte auch der Ansatz $y_p(x) = a e^{3x}$ zum Ziel geführt: Einsetzen liefert $3a - 2a = 1$, also $a = 1$.