Sei $p > 3$ eine Primzahl. Zeige
$24 = 8 \cdot 3$, und $8$ und $3$ sind teilerfremd. Zerlege $p^2 - 1$ in ein Produkt zweier aufeinanderfolgender gerader Zahlen.
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Wir zeigen $8 \mid p^2 - 1$ und $3 \mid p^2 - 1$ und nutzen $\gcd(8,3) = 1$.
Teilbarkeit durch $8$. Da $p > 3$ prim ist, ist $p$ ungerade, also $p = 2m + 1$ für ein $m \in \mathbb{Z}$. Damit
Von zwei aufeinanderfolgenden Zahlen $m$ und $m+1$ ist eine gerade, also $2 \mid m(m+1)$ und somit $8 \mid 4m(m+1) = p^2 - 1$.
Teilbarkeit durch $3$. Da $p$ prim und $p > 3$ ist, ist $3 \nmid p$, also $p \equiv 1$ oder $p \equiv 2 \pmod 3$. In beiden Fällen gilt $p^2 \equiv 1 \pmod 3$, denn $1^2 = 1$ und $2^2 = 4 \equiv 1 \pmod 3$. Also $3 \mid p^2 - 1$.
Zusammensetzen. $8 \mid p^2 - 1$, $3 \mid p^2 - 1$ und $\gcd(8,3) = 1$ ergeben $24 \mid p^2 - 1$, das heisst $p^2 \equiv 1 \pmod{24}$. $\blacksquare$
Die Voraussetzung $p > 3$ ist nötig: für $p = 2$ ist $p^2 = 4$ und für $p = 3$ ist $p^2 = 9$ – beides nicht $\equiv 1 \pmod{24}$.