Zeige für alle $n \in \mathbb{N}$:
Die Summe der ersten $n$ Kubikzahlen ist also stets eine Quadratzahl – und zwar das Quadrat der $n$-ten Dreieckszahl.
Vollständige Induktion über $n$. Im Induktionsschritt lohnt es sich, $(n+1)^2$ auszuklammern, bevor du etwas ausmultiplizierst.
Die Lösung ist ausgeblendet. Nimm dir erst selbst Zeit für die Aufgabe – der Aha-Moment lässt sich nicht nachholen.
Hast du es ernsthaft versucht – und den Hinweis gelesen? Danach gibt es kein Zurück im Kopf.
Lösung
Induktionsanfang. Für $n = 1$ gilt $\sum_{k=1}^{1} k^3 = 1$ und $\left( \tfrac{1 \cdot 2}{2} \right)^2 = 1$. Die Aussage stimmt also.
Induktionsschritt. Sei die Behauptung für ein $n \in \mathbb{N}$ richtig. Dann folgt
Ausklammern von $(n+1)^2$ liefert
und das ist genau $\left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^{2}$. Damit gilt die Formel auch für $n+1$, und nach dem Induktionsprinzip für alle $n \in \mathbb{N}$. $\blacksquare$